** Exercice de synthèse

Dans un repère orthonormé \(\left( \text O ~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) du plan, on considère les points \(\text A \left( -4~;2 \right)\), \(\text B \left( 1~;5 \right)\), \(\text C \left( 3~;-1 \right)\) et \(\text D \left( -2~;-4 \right)\).

1. Placer les points \(\text A\), \(\text B\), \(\text C\) et \(\text D\) dans le repère.

2. Conjecturer la nature du quadrilatère \(\text{ABCD}\).

3. Calculer les coordonnées du milieu \(\text M\) du segment \([\text{AC}]\).

4. Calculer les coordonnées du milieu \(\text N\) du segment \([\text{BD}]\).

5. En déduire la nature du quadrilatère \(\text{ABCD}\).

6. Calculer la distance \(\text{AB}\).

7. Montrer que \(\text{BC} = 2\sqrt{10}\).

8. Le quadrilatère \(\text{ABCD}\) est-il un losange ?